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À medida que a fronteira de variância mínima passa por um portfólio de canto, o peso de um ativo é alterado de zero para positivo ou de positivo para zero. A carteira de variação mínima global (GMV) permanece incluída como uma carteira de canto, independentemente de sua ponderação de ativos. Portanto, os portfólios de canto são instrumentais na criação de outros portfólios de variância mínima. Por exemplo, suponha que exista uma carteira de canto com um retorno esperado de 7% e um portfólio de canto adjacente com retorno esperado de 9%. A ponderação de ativos de qualquer carteira de variância mínima com retorno esperado entre 7% e 9% é uma média ponderada positiva das ponderações dos ativos nos portfólios de canto de retorno esperado de 7% e 9%. Escusado será dizer que as carteiras de esquina adjacentes fazem parte da fronteira eficiente. Como as carteiras de canto, as interpolações lineares entre portfólios de canto sucessivos também são portfólios eficientes. Veja também. Duração e Convexidade Os preços dos títulos mudam inversamente com as taxas de juros e, portanto, há risco de taxa de juros com títulos. Um método de mensurar o risco de taxa de juros devido a mudanças nas taxas de juros de mercado é pela abordagem de avaliação completa. que simplesmente calcula quais serão os preços dos títulos se a taxa de juros for alterada por valores específicos. A abordagem de avaliação completa baseia-se no fato de que o preço de um título é igual à soma do valor presente de cada pagamento de cupom mais o valor presente do pagamento do principal. Que o valor presente de um pagamento futuro depende da taxa de juros é o que faz com que os preços dos títulos também variem com a taxa de juros. Valor Obrigatório Valor Presente do Pagamento do Cupão Valor Presente do Valor Nominal Outro método para medir o risco da taxa de juros, que é menos intensivo em termos computacionais, é calcular a duração de um título, que é a média ponderada do valor presente dos pagamentos de títulos. Consequentemente, a duração é por vezes referida como a maturidade média ou a maturidade efetiva. Quanto maior a duração, maior é o prazo médio e, portanto, maior a sensibilidade às mudanças na taxa de juros. Graficamente, a duração de uma obrigação pode ser visualizada como uma gangorra onde o fulcro é colocado de modo a equilibrar os pesos dos valores presentes dos pagamentos e do pagamento do principal. Matematicamente, a duração é a primeira derivada da curva de preço-rendimento, que é uma linha tangente à curva no ponto de rendimento de preço atual. Embora a duração efetiva seja medida em anos, é mais útil interpretar a duração como um meio de comparar os riscos da taxa de juros de diferentes valores mobiliários. Os títulos com a mesma duração têm a mesma exposição ao risco da taxa de juros. Por exemplo, como os títulos de cupom zero pagam apenas o valor de face no vencimento, a duração de um zero é igual ao seu vencimento. Segue-se também que qualquer obrigação de uma certa duração terá uma sensibilidade à taxa de juros igual a uma obrigação de cupão zero com uma maturidade igual à duração das obrigações. A duração também é frequentemente interpretada como a variação percentual de um preço de títulos por uma pequena alteração em seu rendimento até o vencimento (YTM). Não é de surpreender que exista uma relação entre a mudança no preço dos títulos e a mudança na duração quando o rendimento muda, uma vez que tanto o vínculo quanto a duração dependem dos valores presentes dos fluxos de caixa dos títulos. Na verdade, existe uma relação muito simples entre os dois: quando a YTM muda em 1, o preço do título muda de acordo com a duração convertida para uma porcentagem. Assim, por exemplo, o preço de um título com duração de 10 anos mudaria em 10 para uma alteração na taxa de juros. Macaulay Duração Antes de 1938, era bem conhecido que o vencimento de um título afetava seu risco de taxa de juros, mas também se sabia que títulos com a mesma maturidade poderiam diferir amplamente em mudanças de preço com mudanças no rendimento. Por outro lado, os títulos de cupom zero sempre exibiram o mesmo risco de taxa de juros. Portanto, Frederick Macaulay argumentou que uma melhor medida do risco de taxa de juros é considerar um cupom de cupom como uma série de títulos de cupom zero, em que cada pagamento é um cupom de cupom zero ponderado pelo valor presente do pagamento dividido pelo preço do título. . Assim, a duração é a maturidade efetiva de um título, e é por isso que é medido em anos. Não só a duração do Macaulay pode medir o vencimento efetivo de um título, mas também pode ser usado para calcular o vencimento médio de uma carteira de títulos de renda fixa. Consequentemente, a duração tem várias propriedades simples: a duração é proporcional ao vencimento do título, uma vez que a amortização do principal é o maior fluxo de caixa do título e é recebida no vencimento é inversamente relacionada à taxa do cupom, pois haverá um maior diferença entre os valores presentes para os pagamentos anteriores sobre o menor valor para a duração do reembolso do principal diminui com o aumento da frequência de pagamento, pois metade do valor presente dos fluxos de caixa é recebido mais cedo do que com pagamentos menos frequentes, razão pela qual tem uma duração mais curta que zeros com o mesmo prazo. A duração do Macaulay é calculada por meio do cálculo da média ponderada do valor presente (PV) de cada fluxo de caixa no tempo t pela seguinte fórmula: CF t / (1 y) t Preço da Bond Como você pode ver, os preços das obrigações calculados A duração do Macaulay é muito próxima do preço calculado com os valores atuais dos fluxos de caixa quando a taxa de juros é pequena. De fato, quando arredondados, os valores são iguais. Observe que no exemplo acima, se o rendimento tiver sido alterado em 1 em vez de 0,1, o preço do título pode ser simplesmente multiplicado pela duração convertida para uma porcentagem, desde 1 2,820 0,0282 2,82. O ajuste de duração é uma aproximação aproximada para pequenas mudanças nas taxas de juros. No entanto, a duração também muda, que é medida pela convexidade dos títulos (discutida mais adiante). Como a duração também muda, mudanças maiores nas taxas de juros produzirão maiores discrepâncias entre o preço real do título e o preço calculado usando a duração. Duração Modificada A duração é medida em anos, por isso não mede diretamente a mudança nos preços dos títulos no que diz respeito às mudanças no rendimento. No entanto, o risco da taxa de juros pode ser facilmente comparado comparando-se as durações de diferentes títulos ou carteiras. A duração modificada, por outro lado, mede a sensibilidade das mudanças no preço do título com as mudanças no rendimento. Especificamente: D Mac Macaulay Duração dP / P pequena alteração no preço do título pequena mudança no rendimento y rendimento até o vencimento k número de pagamentos por ano Modificado Fórmula de Duração Assim equivale a mudança no preço do título calculada para o Exemplo 2 acima para rendimentos de duração modificados: dP / P dy.27 0,1 2,7 2,82 (1 6/2) 2,82 1,03 Duração Macaulay (1 y / k) Alteração do preço do título Mudança Modificada Duração Preço do título Assim, para o exemplo acima: Alteração do preço da obrigação 0,1 2,7 97,05 0,26 O cálculo acima difere por apenas um centavo da diferença real de 0,27 calculada com o uso do valor presente dos fluxos de caixa, que é consideravelmente menor do que a diferença de 0,28 calculada usando a duração de Macaulay. Assim, a duração modificada produz uma mudança de preço mais precisa do que a duração de Macaulay, mas, como a última, só é válida quando a mudança no rendimento é pequena e a mudança de rendimento não altera o fluxo de caixa do título, como pode ocorrer por exemplo, se a mudança de preço de um título que pode ser chamado aumentar a probabilidade de que ele seja chamado. É claro que as taxas de juros geralmente mudam apenas em pequenos passos, de modo que a duração é uma ferramenta eficaz para medir o risco da taxa de juros. Fórmulas de Duração e Duração Modificada para Obrigações usando o Microsoft Excel Modificado Duração MDURAÇÃO (liquidação, vencimento, cupom, rendimento, frequência, base) Data de Liquidação entre as cotações de liquidação. Data de vencimento entre as cotações quando o título vence. Cupom Taxa de juros de cupom anual nominal. Rendimento Rendimento anual até o vencimento. Freqüência Número de pagamentos de cupons por ano. 1 Anual 2 Semestral 4 Base de contagem trimestral da base. 0 30/360 (base U. S.). Este é o padrão se a base for omitida. 1 real / real (número real de dias no mês / ano). 2 actual / 360 3 actual / 365 4 Europeu 30/360 1. ExemploCálculo da duração modificada usando o Microsoft Excel Calcule a duração e a duração modificada de uma obrigação de 10 anos pagando uma taxa de cupão de 6. um rendimento até ao vencimento de 8. e com um data de liquidação de 1/1/2008 e data de vencimento de 31/12/2017. Duration DURATION (quot 1/1/2008 quot, 31/12/17, 0.06. 0,08, 2) 7,45 Duração modificada MDURATION (quot 1/1/2008 quot, 31/12/2015, 0,06. 0,08, 2) 7.16 Observe que a duração modificada é sempre um pouco menor que a duração, uma vez que a duração modificada é a duração dividida por 1 mais o rendimento por período de pagamento. Convexidade acrescenta um termo à duração modificada, tornando-a mais precisa, ao considerar a mudança na duração como a mudança de rendimento, a convexidade é a segunda derivada da curva de preço-rendimento no ponto de rendimento de preço atual. Observe que a curva preço-rendimento é convexa, e que a duração modificada é a inclinação da linha tangente para um rendimento de mercado específico, e que a discrepância entre a curva preço-rendimento e a duração modificada aumenta com maiores mudanças na taxa de juros . Pode-se ver facilmente que a duração modificada muda à medida que o rendimento muda porque é óbvio que a inclinação da linha muda com diferentes rendimentos. A diferença entre a duração modificada e a curva de preço-rendimento convexa é o ajuste de convexidade, que como pode ser facilmente visto é maior no lado positivo do que no lado negativo. Embora a duração em si nunca possa ser negativa, a convexidade pode torná-la negativa, uma vez que existem alguns títulos, como alguns títulos lastreados em hipotecas que exibem convexidade negativa. o que significa que o título muda de preço na mesma direção em que o rendimento muda. Duração Efetiva para Obrigações Incorporadas a Opções Como a duração depende das médias ponderadas do valor presente dos fluxos de caixa dos títulos, um cálculo simples para duração não é válido se a mudança no rendimento puder resultar em uma mudança de fluxo de caixa. Modelos de avaliação devem ser usados ​​no cálculo de novos preços para mudanças no rendimento quando o fluxo de caixa é modificado por opções. A duração efetiva (também conhecida como duração ajustada da opção) é a mudança nos preços dos títulos por mudança no rendimento quando a mudança no rendimento pode causar fluxos de caixa diferentes. Por exemplo, para um título que pode ser chamado, o título não subirá acima do preço de compra quando as taxas de juros caírem, porque o emissor pode chamar o título de volta pelo preço de compra, e provavelmente o fará se as taxas caírem. Como os fluxos de caixa podem mudar, a duração efetiva de um bônus embutido na opção é definida como a mudança no preço do título por alteração na taxa de juros de mercado: Fórmula de duração efetiva i Diferencial de taxa de juros Duração do portfólio A duração é uma ferramenta analítica eficaz para o gerenciamento de portfólio de títulos de renda fixa porque fornece um prazo médio para a carteira, que, por sua vez, fornece uma medida de risco de taxa de juros para a carteira. A duração de uma carteira de títulos é igual à média ponderada da duração de cada tipo de título na carteira: o valor de mercado da obrigação i / valor de mercado da carteira D i duração da obrigação i K número de títulos da carteira Para uma melhor avaliação a exposição da carteira a uma taxa de juro, é melhor medir a contribuição da emissão ou duração do sector para a duração da carteira, em vez de apenas medir o valor de mercado dessa emissão ou sector para o valor da carteira: Carteira Duração Peso da Contribuição da Emissão Carteira Duração da Questão Dica de Investimento: Minimizar o Risco de Duração Quando os rendimentos são baixos, os investidores, que são avessos ao risco mas que querem obter um rendimento mais elevado, compram frequentemente obrigações com prazos mais longos, uma vez que as obrigações de longo prazo pagam taxas de juro mais elevadas. Mas mesmo os rendimentos dos títulos de longo prazo são apenas marginalmente maiores do que os títulos de curto prazo, porque as seguradoras e os fundos de pensão, que são grandes compradores de títulos, estão restritos a títulos de grau de investimento, então aumentam esses preços, forçando o restante compradores de títulos para aumentar o preço de títulos de alto risco. diminuindo assim o seu rendimento, apesar de terem maior risco. De fato, as taxas de juros podem até se tornar negativas. Em junho de 2016, o bônus alemão de 10 anos, conhecido como o bund, apresentou taxas de juros negativas várias vezes, quando o preço do título excedeu seu principal. As taxas de juros variam continuamente de alta para baixa para alta em um ciclo interminável, então comprar títulos de longa duração quando os rendimentos são baixos aumenta a probabilidade de que os preços dos títulos serão mais baixos se os títulos forem vendidos antes do vencimento. Isso às vezes é chamado de risco de duração. embora seja mais comumente conhecido como risco de taxa de juros. O risco de duração seria especialmente grande na compra de títulos com taxas de juros negativas. Por outro lado, se os títulos de longo prazo são mantidos até o vencimento, então você pode incorrer em um custo de oportunidade, ganhando baixos rendimentos quando as taxas de juros são mais altas. Portanto, especialmente quando os rendimentos são extremamente baixos, como estavam começando em 2008 e continuando até 2016, é melhor comprar títulos com as menores durações, especialmente quando a diferença nas taxas de juros entre carteiras de longa duração e carteiras de curta duração é menos que a média histórica. Por outro lado, comprar títulos de longa duração faz sentido quando as taxas de juros estão altas, já que você não apenas ganha os juros altos, mas também pode perceber a valorização do capital se vender quando as taxas de juros forem mais baixas. A duração é apenas uma aproximação da mudança no preço do título. Para pequenas mudanças no rendimento, é muito preciso, mas para maiores mudanças no rendimento, sempre subestima os preços dos títulos resultantes para títulos livres de opção e não-exigíveis. Isso ocorre porque a duração é uma linha tangente à curva de preço-rendimento no ponto calculado, e a diferença entre a linha tangente de duração e a curva de preço-rendimento aumenta à medida que o rendimento se afasta em qualquer direção do ponto de tangência. Um diagrama da convexidade de 2 portfólios de títulos representativos. Convexidade é a taxa que a duração muda ao longo da curva preço-rendimento e, assim, é a primeira derivada da equação para a duração e a segunda derivada da equação para a função preço-rendimento. A convexidade é sempre positiva para os laços de baunilha. Além disso, a curva preço-rendimento se estabiliza com taxas de juros mais altas, então a convexidade é geralmente maior no lado positivo do que no lado negativo, então a mudança absoluta no preço para uma dada mudança no rendimento será ligeiramente maior quando houver declínio ao invés de aumento. Conseqüentemente, títulos com maior convexidade terão maiores ganhos de capital para uma dada redução nos rendimentos do que as correspondentes perdas de capital que ocorreriam quando os rendimentos aumentassem no mesmo montante. Algumas propriedades adicionais de convexidade incluem o seguinte: A convexidade aumenta à medida que o rendimento até o vencimento diminui e vice-versa. A convexidade diminui com rendimentos mais altos porque a curva preço-rendimento se achata com rendimentos mais altos, portanto a duração modificada é mais precisa, exigindo ajustes menores de convexidade. Esta é também a razão pela qual a convexidade é mais positiva do lado negativo do que negativa. Entre títulos com o mesmo YTM e prazo de duração, os títulos de cupom mais baixo têm maior convexidade, com títulos de cupom zero tendo a maior convexidade. Isso ocorre porque cupons mais baixos ou sem cupons têm a maior volatilidade da taxa de juros. a duração modificada exige um ajuste de convexidade maior para refletir a mudança mais alta no preço de uma determinada mudança nas taxas de juros. A convexidade é calculada pela seguinte equação: y mudança na taxa de juros na forma decimal. Como você pode ver na Fórmula de Ajuste de Convexidade 2, a convexidade é dividida por 2, portanto, usar a Fórmula 2 em conjunto produz o mesmo resultado que usar a Fórmula 1 em conjunto. Para aumentar ainda mais a confusão, às vezes as duas fórmulas de medida de convexidade são calculadas multiplicando o denominador por 100, caso em que as fórmulas de ajuste de convexidade correspondentes são multiplicadas por 10.000, em vez de apenas 100. Lembre-se de valores de convexidade calculados por várias calculadoras na Internet podem produzir resultados que diferem por um fator de 100. Eles podem estar corretos se a fórmula de ajuste de convexidade correta for usada Convexidade é geralmente um termo positivo, independentemente de o rendimento estar aumentando ou diminuindo, portanto, é convexidade positiva. No entanto, às vezes, o prazo de convexidade é negativo, como ocorre quando um título que pode ser chamado está se aproximando do seu preço de compra. Abaixo do preço de compra, a curva preço-rendimento segue a mesma convexidade positiva que um título livre de opção, mas à medida que o rendimento cai e o preço do título aumenta para próximo do preço de compra, a convexidade positiva torna-se convexidade negativa. onde o preço do título é limitado no topo pelo preço da chamada. Assim, similar aos termos para duração modificada e efetiva, há também convexidade modificada. que é a convexidade medida quando não há mudança esperada nos fluxos de caixa futuros e convexidade efetiva. qual é a medida de convexidade para um título para o qual os fluxos de caixa futuros devem mudar. Duração do Ponto Base (BPV) Duração Modificada por Ponto de Base Preço de Mercado do Bônus Às vezes a volatilidade dos preços dos títulos às taxas de juros é calculada como o valor absoluto da mudança no preço quando a taxa de juros muda 1 ponto base (0,01), que é chamado o valor de ponto de base (BPV), também conhecido como valor de preço de um ponto base (PVBP), valor em dólar de um 01 (DV01). Preço inicial do BPV se o rendimento mudar em 1 ponto base (Nota matemática: a expressão denota o valor absoluto de.) Embora os preços dos títulos aumentem mais quando o rendimento declina do que diminui quando o rendimento aumenta, uma mudança no rendimento de 1 ponto base é considerada tão pequena que a diferença é insignificante. Como a duração modificada é a mudança aproximada no preço do título para uma alteração de 100 pontos base no rendimento, o valor do preço de um ponto base é 1 da mudança de preço prevista pela duração modificada. Lembre-se de que: Mudança na variação do preço de mercado Porcentagem Modificada Duração Preço de mercado da obrigação Assim, a mudança de preço por ponto base no rendimento do mercado é: Base Ponto Valor Fórmula Modificada Duração 100 Exemplos: Calculando a mudança de preço de uma mudança de base no rendimento para uma determinada duração Preço de mercado do bônus 1.000 BPV 0,0745 0,01 1.000 0,75 Preço de mercado 900 BPV 0,0745 0,01 900 0,67 Volatilidade do rendimento (volatilidade da taxa de juros) A duração dá uma estimativa do risco da taxa de juros de um determinado título relacionando a variação no preço para a mudança no rendimento, mas nem a duração nem a convexidade fornecem um quadro completo do risco de taxa de juros porque os rendimentos dos títulos também podem mudar devido a mudanças no risco de inadimplência como evidenciado por mudanças nos ratings de crédito do emissor ou devido a mudanças prejudiciais a economia que pode aumentar o risco de inadimplência de muitos negócios. Por exemplo, os títulos do Tesouro dos EUA geralmente têm taxas de cupons e rendimentos atuais mais baixos do que títulos corporativos com vencimentos semelhantes devido à diferença no risco de inadimplência. Portanto, os títulos do Tesouro dos EUA devem ter durações mais altas do que os títulos corporativos e, portanto, alterar o preço mais quando as taxas de juros do mercado mudarem. No entanto, mudanças na percepção do risco de inadimplência também podem alterar os preços dos títulos, embotando ou aumentando o que a duração poderia prever. Por exemplo, durante a recente crise das hipotecas subprime, muitos títulos foram percebidos como mais arriscados do que os investidores perceberam, mesmo aqueles que receberam os melhores ratings das agências de rating de crédito, e tantos títulos, especialmente aqueles baseados em hipotecas subprime, perderam valor, aumentando grandemente seus rendimentos, enquanto os rendimentos dos títulos do Tesouro caíram à medida que a demanda por esses títulos, considerados livres de risco de inadimplência, aumentou em preço, não pelo declínio nas taxas de juros de mercado, mas pela fuga para vender títulos de risco para comprar títulos com pouco ou nenhum risco de inadimplência. A fuga para a qualidade é aumentada pelo fato de que as leis e regulamentos exigem que os fundos de pensão e outros fundos que são mantidos em benefício de outros em uma capacidade fiduciária sejam investidos apenas em títulos de grau de investimento. Assim, quando os ratings de investimento caem para um grande número de títulos abaixo do grau de investimento, os administradores de fundos devem vender os títulos mais arriscados e comprar títulos que provavelmente mantenham um grau de investimento ou estarem livres de risco de inadimplência na maioria dos casos, os títulos do Tesouro dos EUA . Portanto, a volatilidade do rendimento e, portanto, o risco da taxa de juros, é maior para os títulos com maior risco de inadimplência, mesmo que suas durações sejam as mesmas. Política de Privacidade Para este tema Cookies são usados ​​para personalizar conteúdo e anúncios, para fornecer recursos de mídia social e para analisar o tráfego. Informações também são compartilhadas sobre o uso deste site com nossos parceiros de mídia social, publicidade e análise. Detalhes, incluindo opções de exclusão, são fornecidos na Política de Privacidade. 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